Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A (- 2; 0; 0), B (0; 4; 2), C (2; 2; - 2)$ . Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của $Δ A B C$ , trực tâm của $Δ S B C$ . Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S'. Tính tích $S A . S' A$

A. $S A . S' A = \frac{3}{2}$

B. $S A . S' A = \frac{9}{2}$

C. $S A . S' A = 12$

D. $S A . S' A = 6$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Nhận thấy $A B = B C = C A = 2 \sqrt{6}$ nên $Δ A B C$ đều. Do G là trọng tâm của $Δ A B C$ nên $C G ⊥ A B$ , mà $C G ⊥ S A \Rightarrow C G ⊥ (S A B) \Rightarrow C G ⊥ S B$ . Lại có $C H ⊥ S B$ (H là trực tâm của $Δ S B C$ ) nên $S B ⊥ (C H G)$ . Suy ra $S B ⊥ G H$ .

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có

$\begin{array}{l} B C ⊥ S A, B C ⊥ A M \\ \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ G H . \end{array}$

Như vậy $G H ⊥ (S B C) \Rightarrow G H ⊥ S M$ hay $S' H ⊥ S M \Rightarrow \hat{S S' H} = \hat{S M A} .$

Suy ra $Δ A S' G ∽ Δ A M S \Rightarrow \frac{A S'}{A M} = \frac{A G}{A S}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A S' . A S = A M . A G \\ = A M . \frac{2}{3} A M \\ = \frac{2}{3} . {(\frac{A B \sqrt{3}}{2})}^{2} \\ = \frac{2}{3} . (\frac{2 \sqrt{6} . \sqrt{3}}{2}) = 12. \end{array}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑