Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\)....

C

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABB'A'\), \(ADD'A'\), \(CDD'C'\), \(BCC'B'\).

Khi đó \(\left( H \right)\)  là khối bát diện đều \(OMNPQO'\) cạnh bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Thể tích khối lập phương là \({a^3}\).

\( \Rightarrow {V_1} = {a^3} - \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}\).

Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh và tâm đáy lần lượt là \(O,\,\,O'\) \( \Rightarrow OO'\) là đường cao của khối nón.

\( \Rightarrow \) Mặt đáy của khối nón vuông góc với \(OO'\).

Mà \(OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) nên \(\left( {MNPQ} \right)\) song song với mặt đáy của khối nón \(\left( N \right)\).

Qua \(O\) dựng mặt phẳng song song với \(\left( {MNPQ} \right)\), gọi \(M',\,\,N',\,\,P',\,\,Q'\) lần lượt là giao điểm của \(OM,\,\,ON,\,\,OP,\,\,OQ\) với mặt đáy của khối nón \(\left( N \right)\).

Khi đó khối nón \(\left( N \right)\) là khối nón ngoại tiếp chóp \(O.M'N'P'Q'\).

Ta có \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên \(MP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2  = a\).

\(MP\) là đường trung bình của tam giác \(OM'P'\) nên \(M'P' = 2MP = 2a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy khối nón \(\left( N \right)\) là \(r = \dfrac{1}{2}M'P' = a\). Ta có \(OO' = AA' = a\).

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{5{a^3}}}{6}:\dfrac{{\pi {a^3}}}{3} = \dfrac{5}{{2\pi }}\)  

Chọn C.