Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\), từ đó tính độ dài đoạn thẳng đó ta sẽ được khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Giải chi tiết:

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BD,AC\), ta có:

\(DF\bot AC;BF\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( BDF \right)\Rightarrow AC\bot FE\).

Mà \(DF=\frac{a\sqrt{3}}{2}=BF\Rightarrow \Delta BFD\) cân tại \(F\Rightarrow FE\bot BD\).

Vậy \(FE\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\).

Xét \(\Delta BFE\) vuông tại \(E\) ta có:

\(FE=\sqrt{B{{F}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(d\left( AC;BD \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Chọn B.