Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3x+1\) có đồ t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\) là : \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.\)

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y=ax+b\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f'\left( {{x}_{0}} \right)=a \\  & {{y}_{0}}-f'\left( {{x}_{0}} \right){{x}_{0}}\ne b \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết:

Ta có : \(y'=4{{x}^{3}}-4x+3.\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : \(y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-4x_{0}^{4}+4x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\  & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-3x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3. \\ \end{align}\)

Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x_0^3 - 4{x_0} + 3 = 3\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\\
- 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1\\
{x_0} = 0\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B