Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( 1 \right) = a + 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = a + 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 3 - 4}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 3}  + 2} \right)}} = \dfrac{1}{8}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + 2 = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{{15}}{8}\).

Chọn C.