Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết:

Ta có: \(AM \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{MB}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).

 Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\):

\(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Chọn C.