Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Sử dụng hệ thức Vi-ét và biến đổi biểu thức của bài toán đề làm bài.

Giải chi tiết:

1. Tìm  điều kiện của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}=0.\ \ \ \left( * \right)\)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow 2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}. \\\end{align}\)

Vậy \(m>-\frac{1}{2}.\)

2. Gọi \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để \(\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13.\)

Với \(m>-\frac{1}{2}\) thì đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right),\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right).\)

Khi đó \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình (*).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}} \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 13\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 2.2\left( {m + 1} \right) = 12\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 4 - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 2 = 0\\
m - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - 2\;\;\left( {ktm} \right)\\
m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=1.\)       

Chọn B