Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + m = 0\) (m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a.Tìm m để phương trình có nghiệm bằng \( - 2\). Ta thay \(x =  - 2\)  vào phương trình sau đó tìm m.

Tìm nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được. Sau khi tìm được m ta thay m vào phương trình bậc hai sau đó sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm của phương trình.

b.Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai và kết hợp với A để tìm m. Hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 3x + m = 0\)(1) (m là tham số).

a. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng \( - 2\) . Tính nghiệm còn lại ứng với m vừa tìm được.

Phương trình có nghiệm bằng  \( - 2\) nên thay \(x =  - 2\)  vào phương trình ta được:

\({\left( { - 2} \right)^2} - 3.\left( { - 2} \right) + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 10\)

Với \(m =  - 10\)  phương trình (1) trở thành:

\({x^2} - 3x - 10 = 0\)   (2)

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} + 4.10 = 49 > 0\) Khi đó phương trình  (2) sẽ có hai nghiệm phân biệt:

\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 - 7}}{2} =  - 2\\{x_2} = \frac{{3 + 7}}{2} = 5\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho khi m = -10 là x = 5.

b.Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}\)

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{9}{4}\)

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\)

Từ A ta có:

 \(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2}\\ = 9 - 5m\end{array}\)

Ta có:

\(m \le \frac{9}{4} \Rightarrow  - 5m \ge  - 5.\frac{9}{4} \Rightarrow 9 - 5m \ge 9 - 5.\frac{9}{4} =  - \frac{9}{4} \Rightarrow A \ge \frac{{ - 9}}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(\frac{{ - 9}}{4}\) dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(m = \frac{9}{4}\)