Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O). Gọi M là điểm bấ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối bù nhau và M là trực tâm của tam giác BIN.

b) Sử dụng định lý Pytago đưa MN thành biểu thức.

c) Chứng minh tứ giác CMSD nội tiếp.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc BI.

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta BCN\) ta có:

\(\begin{array}{l}BM = CN\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = BC\,\,\,\left( {gt} \right)\\\angle B = \angle C = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta BCN\,\,\,\,(c - g - c)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BAM = \angle CBN\) (các góc tương ứng)

Lại có: \(\angle BAM + \angle BMA = {90^0}\,\,(\Delta ABM\)  vuông tại \(B).\)

\( \Rightarrow \angle CBN + \angle BMA = {90^0} \Rightarrow \angle BHM = {90^0}.\)

\( \Rightarrow \angle ADN + \angle AHN = {180^0}\)

\( \Rightarrow ADNH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow IH \bot BN.\)

Lại có: \(BC \bot CD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BC \bot NI.\)

\( \Rightarrow M\) là trực tâm của \(\Delta BIN \Rightarrow NM \bot BI\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Tìm vị trí M để MN ngắn nhất.

Đặt \(AB = a,\,\,BM = x\,\,\left( {0 < x < a} \right) \Rightarrow MC = AB - BM = a - x.\)

Ta có \(\Delta MNC\) vuông tại \(C \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + N{C^2}\)  (định lý Pytago)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {x^2} = 2{x^2} - 2a{x^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2\left( {{x^2} - ax + \frac{1}{2}{a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2\left( {{x^2} - ax + \frac{1}{4}{a^2}} \right) + \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{a^2} \ge \frac{1}{2}{a^2}\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x - \frac{1}{2}a = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}.\)

\( \Rightarrow MN \ge \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Hay \(Min\,\,MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,\,\,khi\,\,x = \frac{a}{2}.\)

c) Đường thẳng DM cắt (O) tại P khác D, AP giao BD tại S. Chứng minh SM // AC.

Ta có: \(\angle DMC = {90^0} - \angle PDC\)

Mà \(\angle PDC = \angle PAC\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PC)

\( \Rightarrow \angle DMC = {90^0} - \angle PAC.\)

Vì BD là trung trực của AC nên \(\angle SAC = \angle SCA\) hay \(\angle PAC = \angle SCA.\)

\( \Rightarrow \angle DMC = {90^0} - \angle SCA = \angle DSC.\)

Lại có \(CMSD\) là tứ giác nội tiếp

Mà \(\angle MCD = {90^0} \Rightarrow \angle MSD = {90^0}\)

Hay \(MS \bot BD \Rightarrow SM//AC\,\,\left( {dpcm} \right).\)