Cặp điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = A{x^3} + B{x^2} + Cx + D\). Trên đồ thị \(\left( C \right)\) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng \(d:\,\,y = {A_1}x + {B_1}\).

+) Gọi \(M\left( {a;Aa + B{a^2} + Ca + D} \right);\,\,N\left( {b;Ab + B{b^2} + Cb + D} \right)\) là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+) Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm I. \(\left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right.\).

+) Giải hệ phương trình tìm được M, N.

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;{a^3} + a} \right);\,\,B\left( {b;{b^3} + b} \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\) là hai điểm thuộc \(\left( C \right)\) và đối xứng nhau qua đường thẳng \(d:\,\,y =  - \frac{1}{2}x \Leftrightarrow x + 2y = 0\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {\frac{{a + b}}{2};\,\,\frac{{{a^3} + a + {b^3} + b}}{2}} \right)\)

Do A và B đối xứng nhau qua d

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + b}}{2} + 2.\frac{{{a^3} + a + {b^3} + b}}{2} = 0\\2.\left( {b - a} \right) - \left( {{b^3} + b - {a^3} - a} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right) + 2\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a + b} \right)} \right] = 0\\2\left( {b - a} \right) - \left[ {\left( {b - a} \right)\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right) + \left( {b - a} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {1 + 2{a^2} - 2ab + 2{b^2} + 2} \right) = 0\\\left( {b - a} \right)\left( {2 - {b^2} - ab - {a^2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right).2\left( {{a^2} - ab + {b^2} + \frac{3}{2}} \right) = 0\\\left( {b - a} \right)\left( {1 - {a^2} - ab - {b^2}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\1 - {a^2} - ab - {b^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - a\\1 - {a^2} + {a^2} - {b^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  \pm 1\\a =  \mp 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\\b =  - 1 \Rightarrow B\left( { - 1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right)\\b = 1 \Rightarrow B\left( {1;2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cặp điểm cần tìm là \(A\left( {1;2} \right);\,\,B\left( { - 1; - 2} \right)\).

Chọn D.