Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để p...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}}}} = \cos x \Leftrightarrow m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}} = {\cos ^3}x\\ \Leftrightarrow m + 3\cos x + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}} = {\cos ^3}x + 3\cos x\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà theo (*) ta có \(f\left( {m + 3\cos x} \right) = f\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow m + 3\cos x = {\cos ^3}x \Leftrightarrow m = {\cos ^3}x - 3\cos x\).

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\), phương trình trở thành \(m = {u^3} - 3u = g\left( u \right)\,\,\left( {**} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( u \right) = {u^3} - 3u\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có \(g'\left( u \right) = 3{u^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow u =  \pm 1\).

Ta có \(g\left( 1 \right) =  - 2;\,\,g\left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) =  - 2;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = 2\).

(**) có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Chọn C