a) Cho các biểu thức \(P\left( x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(P(x_0)\)  là ước của khi \(\frac{Q\left( {{x}_{0}} \right)}{P\left( {{x}_{0}} \right)}\) là số nguyên

b)  Nhận thấy cả \(A\)  và \(t\) đều có thể đưa về một ẩn chung là \(x+\frac{1}{x}\)

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(x\ge 0,\ x\ne 16\)  Ta có:

+)\(P\left( x \right)=\frac{5\left( x-16 \right)-12\sqrt{x}+48}{x-16}=5-\frac{12\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}=5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}\)

+)\(P\left( {{x}_{0}} \right)\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{12}{\sqrt{{{x}_{0}}}+4}\) nguyên  

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 4 = 4\\
\sqrt x + 4 = 6\\
\sqrt x + 4 = 12
\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 4 > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 0\\
\sqrt x = 2\\
\sqrt x = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 4\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 64\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Nhận thấy với 3 giá trị trên của \(x\) thì \(Q\left( x \right)\) đều nguyên : \(\left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow Q\left( x \right)=3\ \ \left( tm \right) \\ & x=4\Rightarrow Q\left( x \right)=9\ \ \ \left( tm \right) \\ & x=64\Rightarrow Q\left( x \right)=75\ \ \left( tm \right) \\\end{align} \right.\)

+) Xét \(\frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{x+\sqrt{x}+3}{5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}}\) ta có :

\(\) \(\begin{align}  & +)\ x=0\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{3}{2}\ \ \left( ktm \right). \\ & +)\ x=4\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=3\ \ \left( tm \right). \\ & +)\ x=64\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{75}{4}\ \ \left( ktm \right). \\\end{align}\)

Vậy \(x=4\) là giá trị cần tìm.

b) 

+) Với \(x=0\) ta có: \(t=0\Rightarrow A=0\)  

+) Với \(x\ne 0\) ta có:  \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}=\frac{1}{x-\frac{1}{x}-1}\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{1}{t}+1\)

Mặt khác: \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}=\frac{1}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}-1}\)  \(\) \(\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{t}+1 \right)}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\)

Vậy \(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\) và \(A=0\) khi \(x=0\)  

Chọn A