Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     Tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Ta có: D thuộc đường tròn đường kính MC nên \(\angle MDC={{90}^{0}}\,\,hay\,\,\angle BDC={{90}^{0}}\)

Nên D thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Có: \(\angle BAC={{90}^{0}}\) (gt tam giác ABC vuông tại A) nên A thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, A,D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Hay tứ giác BADC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Gọi O là trung điểm của BC, Khi đó ta có tâm O của đường tròn chính là trung điểm của BC và bán kính chính bằng nửa độ dài BC.

b)     \(CM.CA=CN.CB.\)

Xét tam giác CMN và tam giác CBA có:

\(\angle CNM=\angle CAB={{90}^{0}}\)

\(\angle NCM\) chung

Nên \(\Delta CMN\sim \Delta CBA\left( g-g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA}\Rightarrow CM.CA=CB.CN\)  (điều phải chứng minh)

c)     \(O{{M}^{2}}=ON.OC.\)

Ta có: O là trung điểm của BC (cm câu a)

M là trung điểm của AC (gt)

Nên OM là đường trung bình của tam giác ABC

Khi đó ta có: \(OM\parallel AB\) . Mà \(AB\bot AC\left( gt \right)\Rightarrow OM\bot AC\,\,hay\,\,\,OM\,\,\,\bot MC\)

Xét tam giác vuông OMC có MN là đường cao.

\(\Rightarrow O{{M}^{2}}=ON.OC\) (điều phải chứng minh)