Các số nguyên dương từ 1 đến 2018 được tô màu theo...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Các số nguyên dương từ 1 đến 2018 được tô màu theo quy tắc sau: Các số mà khi chia cho 24 dưa 17 được tô màu xanh; các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ. Các số còn lại được tô màu vàng.

a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ. Hỏi có bao nhiêu số được tô màu vàng?

Giả sử có một số a được tô cả màu xanh và màu đỏ \(\left( {a \in N,\;\;1 \le a \le 2018} \right).\)

\( \Rightarrow a\) chia cho \(24\)  dư \(17\)  hay \(a = 24k + 17.\;\;\;\left( {k \in N*,\;k \le 83} \right)\)

\( \Rightarrow a\) chia cho \(40\)  dư \(7\)  hay \(a = 40l + 7.\;\;\;\left( {l \in N*,\;\;l \le 50} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 24k + 17 = 40l + 7\\ \Leftrightarrow 40l - 24k = 10\\ \Leftrightarrow 20l - 12k = 5\\ \Leftrightarrow 4\left( {5l - 3k} \right) = 5\end{array}\)

Vô lí do \(5l - 3k \in Z\) và \(5\) không chia hết cho 4. Do đó giả sử sai.

Vậy không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ.

b) Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a;\;b} \right)\) sao cho \(a\) được tô màu xanh, \(b\) được tô màu đỏ và \(\left| {a - b} \right| = 2?\) 

a được tô màu xanh \( \Rightarrow a = 24{d_1} + 17\,\,\left( {{d_1} \in N*;\,\,{d_1} \le \frac{{2018 - 17}}{{24}} \Rightarrow {d_1} \le 83} \right)\)

b được tô màu đỏ  \( \Rightarrow b = 40{d_2} + 7\,\,\left( {{d_2} \in N*;\,{d_2} \le \frac{{2018 - 7}}{{40}} \Leftrightarrow {d_2} \le 50} \right)\)

Ta có:

\(\left| {a - b} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {40{d_2} + 7 - 24{d_1} - 17} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {40{d_2} - 24{d_1} - 10} \right| = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}40{d_1} - 24{d_2} - 10 = 2\\40{d_1} - 24{d_2} - 10 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}40{d_2} - 24{d_1} = 12\\40{d_2} - 24{d_1} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10{d_2} - 6{d_1} = 3\\5{d_2} - 3{d_1} = 1\end{array} \right..\)

TH1 : \(10{d_2} - 6{d_1} = 3 \Rightarrow 2\left( {5{d_2} - 3{d_1}} \right) = 3\)

Vô lí vì \(2\left( {5{d_2} - 3{d_1}} \right)\) là số chẵn. Mà 3 là số lẻ.

TH2 : \(5{d_2} - 3{d_1} = 1 \Rightarrow {d_1} = \frac{{5{d_2} - 1}}{3}\)

Có \({d_1} < 83 \Rightarrow \frac{{5{d_2} - 1}}{3} \le 83 \Leftrightarrow {d_2} \le 50\)

Vì \({d_1} \in Z\) nên \(5{d_2} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

TH1 : \({d_2} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Leftrightarrow 5{d_2} \equiv 5\,\,\left( {\bmod 3} \right) \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (loại)

TH2 : \({d_2} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Leftrightarrow 5{d_2} \equiv 10\,\,\left( {\bmod 3} \right) \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (tm)

\( \Rightarrow {d_2} = 3k + 2\,\,\left( {k \in N*} \right)\)

\( \Rightarrow 1 \le 3k + 2 \le 50 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} \le k \le 16\,\,\left( {k \in N*} \right) \Rightarrow \) có 16 giá trị của k thỏa mãn.

Với mỗi giá trị của k cho ta một giá trị của d₂, từ đó cho một giá trị của d₁ hay nói cách khác, với mỗi giá trị của k cho một cặp số \(\left( {{d_1};{d_2}} \right)\), tức là cho một cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 16 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.