Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{1}{{2\sqrt 1 ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về dạng phân số tổng quát để rút gọn quy luật chung.

Giải chi tiết:

Dựa vào đề bài ta có phân số tổng quát của dãy số trên là:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{(n + 1)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }} = \frac{{(n + 1)\sqrt n  - n\sqrt {n + 1} }}{{{{(n + 1)}^2}n - {n^2}(n + 1)}} = \frac{{(n + 1)\sqrt n  - n\sqrt {n + 1} }}{{{n^3} + 2{n^2} + n - {n^3} - {n^2}}}\\ = \frac{{(n + 1)\sqrt n  - n\sqrt {n + 1} }}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\end{array}\)

Từ đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2025\sqrt {2024}  + 2024\sqrt {2025} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2024} }} - \frac{1}{{\sqrt {2025} }}\\ = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2025} }} = 1 - \frac{1}{{45}} = \frac{{44}}{{45}}.\end{array}\)

Vậy \(P = \frac{{44}}{{45}}.\)

Chọn C.