Tìm tất cả các số thực m để phương trình...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)  Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0\).

+) Giải bất phương trình \(\Delta  > 0\) để tìm điều kiện của m.

+) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta  = {(2m + 3)^2} - 4(3m + 1) = 4{m^2} + 5 > 0\) với \(\forall m.\) Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 3\\{x_1}{x_2} = 3m + 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 3\left( {3m + 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(m =  - 1;m = \frac{1}{4}.\)