Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {{{\log }_a}b + {{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau để giải bài toán: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\) và \({\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \right)\left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right){\log _b}a - 1\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{{\log }_b}a + 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{{{{\log }_b}ab}}} \right){\log _b}a - 1\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\log _b^2a + 2{{\log }_b}a + 1}}{{{{\log }_b}a}}\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{{{{\log }_b}a + 1}}} \right){\log _b}a - 1\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2}.\dfrac{{{{\log }_b}a + 1 - {{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)}} - 1\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\log }_b}a + 1}}{{{{\log }_b}a}} - 1 = 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} - 1 = {\log _a}b\end{array}\)

Chọn B.