Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Vì chóp S.ABCD đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi E là giao điểm của SO và A’C’.

Ta có: \(A'C'\) là đường trung bình của \(\Delta SAC \Rightarrow A'C'//AC\)

Xét tam giác \(SAO\) có: \(\left. \begin{array}{l}SA' = A'A\\A'E//AO\end{array} \right\} \Rightarrow A'E\)là đường trung bình của tam giác \(SAO\) \( \Rightarrow E\) là trung điểm của SO

\( \Rightarrow d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right).\) 

Tam giác SAC cân tại S\( \Rightarrow SO \bot AC \Rightarrow A'C' \bot SO\)

Xét tam giác SA’C’ là tam giác cân tại S có SE là đường cao \( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(A'C'\). 

Có \(\Delta A'AB = \Delta C'CB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'B = C'B \Rightarrow \Delta BA'C'\) cân tại B

\( \Rightarrow \) Trung tuyến BE đồng thời là đường cao \( \Rightarrow BE \bot A'C'\)

\(\left. \begin{array}{l}A'C' \bot SO\\A'C' \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {SOB} \right)\)

Trong (SOB) kẻ \(OH \bot BE\) 

Có: \(\left. \begin{array}{l}OH \bot BE\\OH \bot A'C'\left( {A'C' \bot \left( {SOB} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {A'BC'} \right) \Rightarrow d\left( {S;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {A'BC'} \right)} \right) = OH\).

 Xét hình vuông ABCD có \(AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB \Rightarrow \Delta SOB\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)

Xét tam giác vuông OBE có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{8}{{3{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {14} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)

Chọn C.