Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) nội tiếp m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật  có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là a, b, c là:

 \({{S}_{tp}}=ab+bc+ca.\)

+) Diện tích của mặt cầu bán kính R là: \(S=4\pi {{R}^{2}}.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(O=A'C\cap BD'\) ⇒ O là tâm hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

\(A'C=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là \({{S}_{1}}=2\left( ab+bc+ca \right)\)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là \({{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\)

Khi đó \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\left( a+b+c \right)}{4\pi \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}\)

Để tỉ lệ trên là lớn nhất thì \(P=\frac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\) lớn nhất

Ta có: \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}\ge \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow P\le \frac{abc}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{V}\) với V là thể tích của hình hộp chữ nhât.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Vậy tỉ lệ \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) lớn nhất khi hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.

Chọn C