a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \( \left( x;y \ri...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phân tích đẳng thức thành 

\({A^2} + {B^2} = 16 + 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
A = \pm 4\\
B = \pm 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
A = \pm 5\\
B = \pm 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

b) \( {{n}^{3}}+2019=\left( {{n}^{3}}-n \right)+\left( n+2019 \right)\)

Chứng minh \( {{n}^{3}}-n\)  chia hết cho 6.

Tìm n để \( n+2019\)  chia hết cho 6.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,2{x^2} + 5{y^2} = 41 + 2xy\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - 4xy + 4{y^2} = 41\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - 2y} \right)^2} = 16 + 25 = {\left( { \pm 4} \right)^2} + {\left( { \pm 5} \right)^2}
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4\\
x - 2y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = - 4\\
x - 2y = - 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4\\
x - 2y = - 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = - 4\\
x - 2y = 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)  hoặc \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\x - 2y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 5\\x - 2y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\x - 2y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 5\\x - 2y = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy các cặp \( \left( x;y \right)\)  nguyên thỏa mãn \( 2{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}=41+2xy\)  là  \( \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 1;3 \right);\left( -1;-3 \right);\left( 2;3 \right);\left( -2;-3 \right) \right\}\) .

b) \({({n}^{3}}+2019=\left( {{n}^{3}}-n \right)+\left( n+2019 \right)\)

Ta có \({{n}^{3}}-n=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\)  là tích của 3 số liên tiếp \( \Rightarrow \left( {{n}^{3}}-n \right)\,\,\vdots \,\,6\)  

\( \Rightarrow \)  Để \( {{n}^{3}}+2019\)  chia hết cho 6 thì \( n+2019\)  phải chia hết cho 6.

Ta có \( 2019\equiv 3\left( \bmod 6 \right)\Rightarrow n\equiv 3\left( \bmod 6 \right)\)  

Đặt \( n=6k+3\,\,\left( k\in N \right)\)  ta có \( 0\le n\le 2019\Leftrightarrow 0\le 6k+3\le 2019\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le k\le 336\Leftrightarrow 0\le k\le 336\) .

Vậy có 337 số tự nhiên n thỏa mãn \( {{n}^{3}}+2019\)  chia hết cho 6.

Chọn C