Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m} \right)\).

- Biện luận theo \(m\) số nghiệm của đạo hàm \(g'\left( x \right) = 0\) với chú ý:

Hàm số có \(5\) cực trị nếu và chỉ nếu phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm bội lẻ phân biệt.

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Xét \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có \(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} + m} \right)'.f'\left( {{x^2} + m} \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + m} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + m = 2\\{x^2} + m = 1\\{x^2} + m =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2 - m\\{x^2} = 1 - m\\{x^2} =  - 1 - m\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) \(g'\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm bội lẻ phân biệt.

TH1: \(m = 2\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị. (loại)

TH2: \(m = 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 0\\{x^2} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị. (loại)

TH3: \(m =  - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\\{x^2} = 2\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 3 \\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) (\(x = 0\) là nghiệm bội \(3\)) nên hàm số đã cho có \(5\) điểm cực trị.

TH4: \(m > 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2 - m < 0\\1 - m < 0\\ - 1 - m < 0\end{array} \right.\) nên \(g'\left( x \right) = 0\) chỉ có nghiệm \(x = 0\) nên hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.

TH5: \(1 < m < 2\) thì

+ phương trình \({x^2} = 2 - m\) có hai nghiệm phân biệt.

+ phương trình \({x^2} = 1 - m\) và \({x^2} =  - 1 - m\) vô nghiệm.

Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) không có \(5\) nghiệm phân biệt và hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.

TH6: \( - 1 < m < 1\) thì

+ phương trình \({x^2} = 2 - m\) có hai nghiệm phân biệt.

+ phương trình \({x^2} = 1 - m\) có hai nghiệm phân biệt.

+ phương trình \({x^2} =  - 1 - m\) vô nghiệm.

Do đó \(g'\left( x \right) = 0\) có \(5\) nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều là nghiệm đơn nên hàm số đã cho có \(5\) điểm cực trị.

TH7: \(m <  - 1\) thì các phương trình \({x^2} = 2 - m;{x^2} = 1 - m,{x^2} =  - 1 - m\) đều có hai nghiệm phân biệt dẫn đến \(g'\left( x \right) = 0\) có \(7\) nghiệm phân biệt và hàm số đã cho không có \(5\) điểm cực trị.

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực trị là \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\ - 1 < m < 1\end{array} \right.\) hay \( - 1 \le m < 1\).

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\), có \(2\) giá trị thỏa mãn bài toán.

Chọn D.