Giải phương trình: \(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu nhóm \((1 + \cos 2x)\) và \(\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\)dùng công thức nhân đôi và biến đổi tổng thành tích thì đều có thừa số \(\cos x\)

Giải chi tiết:

Ta có: (1)\( \Leftrightarrow (1 + \cos 2x) + \left( {\cos 3x + \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\cos 2x.\cos x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\cos x + \cos 2x)\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\cos \frac{{3x}}{2}\cos \frac{x}{2}\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

 Vậy phương trình có hai họ nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\) .