Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(\sin x + \cos x = t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

- Rút \(\sin x\cos x\) theo t.

Giải chi tiết:

Đặt \(\sin x + \cos x = t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)\(\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right).\) \( \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành \(\left( {{t^2} - 1} \right) - 2\sqrt 2 t = m \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t - 1 = m\,\,\,\left( * \right)\).

Để phương trình ban đầu có nghiệm x thì phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} - 2\sqrt 2 t - 1 = {\left( {t - \sqrt 2 } \right)^2} - 3\) trên  \( - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \)

BBT:

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ { - 3;5} \right]\). Các giá trị nguyên của m: \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;...;5} \right\}\); có 9 giá trị nguyên của m.

Chọn B.