Gọi \({x_0}\) là nghiệm dương nhỏ nhất của \(\cos...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ghép cặp \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right)\\\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(t = x - \frac{\pi }{6}\)

Biến đổi \(\left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right)\) theo t.

Đưa về phương trình ẩn t.

Giải phương trình tìm ẩn t, sau đó tìm ẩn x.

Giải chi tiết:

Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = 1\).

                      \( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\).

Đặt \(t = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = t + \frac{\pi }{6} \Rightarrow 2x = 2t + \frac{\pi }{3} \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = 2t + \frac{\pi }{2}.\)

Phương trình trở thành \( \Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin t = 1 \Leftrightarrow \cos 2t + \sin t = 1\).

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}t - \sin t = 0 \Leftrightarrow \sin t\left( {2\sin t - 1} \right) = 0.\)

+ \(sin\,t = 0 \Leftrightarrow t = k\pi  \to x = \frac{\pi }{6} + k\pi  > 0 \Leftrightarrow k >  - \frac{1}{6}\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{\pi }{6}.\)

+ \(\sin t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi  \to x = \frac{\pi }{3} + m2\pi  > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{6}\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {m_{\min }} = 0 \to x = \frac{\pi }{3}.\\t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \to x = \pi  + n2\pi  > 0 \Leftrightarrow n >  - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {n_{\min }} = 0 \to x = \pi .\end{array} \right.\)

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {\frac{\pi }{{12}};\frac{\pi }{6}} \right].\)

Chọn B