Giải phương trình\(1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm nhân tử chung của biểu thức .

+) Sử dụng công thức: \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)

+) Áp dụng công thức : \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sin (x + \alpha )\)

Giải chi tiết:

ĐK: \(\cos x \ne 0\).

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;1 + \sin x + \cos x + \tan x = 0 \Leftrightarrow \sin x + \cos x + 1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}} + \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\cos x =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = m\pi \\x = \pi  + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + m\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;\;m \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn D