Ba cạnh của tam giác vuông lập thành ba số hạng li...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right),\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai (*) ẩn \(t.\)

Tìm \(m\) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt \(x \Leftrightarrow pt\;\left( * \right)\) có hai nghiệm \(t > 0\) phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et và tính chất của cấp số cộng để làm bài toán.

Ba số \(a,\;b,\;c\) lập thành CSC ta có:\(a + c = 2b.\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right).\) Khi đó ta có phương trình \({t^2} - 10t + m = 0\;\;\left( * \right)\)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt \(x \Leftrightarrow pt\;\left( * \right)\) có hai nghiệm \(t > 0\) phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - m > 0\\10 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 25.\)

\( \Rightarrow 0 < m < 25\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(0 < {t_1} < {t_2} \Rightarrow \) phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt: \({x_1} =  - \sqrt {{t_2}}  < {x_2} =  - \sqrt {{t_1}}  < {x_3} = \sqrt {{t_1}}  < {x_4} = \sqrt {{t_2}} .\)

Theo đề bài ta có: \({x_1},\;{x_2},\;{x_3},\;{x_4}\) là các số hạng liên tiếp của CSC nên ta có: \(2{x_2} = {x_1} + {x_3}\)

\( \Leftrightarrow  - 2\sqrt {{t_1}}  =  - \sqrt {{t_2}}  + \sqrt {{t_1}}  \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_2}}  \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\;\;\;\left( 1 \right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 10\;\;\;\left( 2 \right)\\{t_1}{t_2} = m\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 9{t_1}\\{t_1} + {t_2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 9\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 3 \right) \Rightarrow {t_1}{t_2} = m \Leftrightarrow 1.9 = m \Leftrightarrow m = 9\;\;\left( {tm} \right)\)

Chọn B.