Ba cạnh của tam giác vuông lập thành ba số hạng li...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right),$ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai (*) ẩn $t.$

Tìm $m$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $x \Leftrightarrow pt\;\left( * \right)$ có hai nghiệm $t > 0$ phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et và tính chất của cấp số cộng để làm bài toán.

Ba số $a,\;b,\;c$ lập thành CSC ta có:$a + c = 2b.$

Giải chi tiết:

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right).$ Khi đó ta có phương trình ${t^2} - 10t + m = 0\;\;\left( * \right)$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $x \Leftrightarrow pt\;\left( * \right)$ có hai nghiệm $t > 0$ phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - m > 0\\10 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 25.$

$\Rightarrow 0 < m < 25$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $0 < {t_1} < {t_2} \Rightarrow$ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt: ${x_1} =  - \sqrt {{t_2}}  < {x_2} =  - \sqrt {{t_1}}  < {x_3} = \sqrt {{t_1}}  < {x_4} = \sqrt {{t_2}} .$

Theo đề bài ta có: ${x_1},\;{x_2},\;{x_3},\;{x_4}$ là các số hạng liên tiếp của CSC nên ta có: $2{x_2} = {x_1} + {x_3}$

$\Leftrightarrow  - 2\sqrt {{t_1}}  =  - \sqrt {{t_2}}  + \sqrt {{t_1}}  \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_2}}  \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\;\;\;\left( 1 \right)$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 10\;\;\;\left( 2 \right)\\{t_1}{t_2} = m\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 9{t_1}\\{t_1} + {t_2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 9\end{array} \right.$

Từ $\left( 3 \right) \Rightarrow {t_1}{t_2} = m \Leftrightarrow 1.9 = m \Leftrightarrow m = 9\;\;\left( {tm} \right)$

Chọn B.