Cho phương trình : \({x^2} - \left( {m + 1} \right...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta  > 0\).

+) Giải \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| \ge 4\) bằng cách bình phương sau đó sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết:

Do \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| \ge 4 \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| \ge 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| \ge 16\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a} = m + 1\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - 2\end{array} \right.\) , thay vào (*) ta có:

 \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 + 2.2 \ge 16 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\sqrt 2  - 1\\m \le  - 2\sqrt 2  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\sqrt 2  - 1\\m \le  - 2\sqrt 2  - 1\end{array} \right.\)