Cho \(2\) số \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(\frac{{a +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Giải chi tiết:

Vì  \(\frac{{a + b}}{2} = 1 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a\).

Thay \(b = 2 - a\) vào biểu thức \(2{a^2} + 2{b^2} + 2008\) ta được:

\(\begin{array}{l}2{a^2} + 2{b^2} + 2008 = 2{a^2} + 2{(2 - a)^2} + 2008\\ = 2{a^2} + 2.(4 - 4a + {a^2}) + 2008\\ = 2{a^2} + 8 - 8a + 2{a^2} + 2008\\ = 4{a^2} - 8a + 2016\\ = 4{a^2} - 8a + 4 + 2012\\ = 4{(a - 1)^2} + 2012 \ge 2012\,\,(do\,\,{(a - 1)^2} \ge 0,\,\,\forall a)\\ \Rightarrow \frac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}} \le \frac{{2011}}{{2012}}\,\,(\forall a)\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{{2011}}{{2{a^2} + 2{b^2} + 2008}}\) là \(\frac{{2011}}{{2012}}\).

Dấu “\( = \)”  xảy ra khi \(a = b = 1\).