Cho \(x + y = 2\) chứng minh: \({x^{2017}} + {y^{2...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức và tính chất của bất đẳng thức.

Giải chi tiết:

Vì \(x + y = 2\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{x^{2017}} + {y^{2017}} \le {x^{2018}} + {y^{2018}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^{2017}} + {y^{2017}}} \right) \le 2\left( {{x^{2018}} + {y^{2018}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} + x{y^{2017}} + {x^{2017}}y + {y^{2018}} \le 2{x^{2018}} + 2{y^{2018}}\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} - 2{x^{2018}} + x{y^{2017}} + {x^{2017}}y + {y^{2018}} - 2{y^{2018}} \le 0\\ \Leftrightarrow {x^{2018}} + {y^{2018}} - {x^{2017}}y - x{y^{2017}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^{2017}} - {y^{2017}}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge 0\\{x^{2017}} - {y^{2017}} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 0\\{x^{2017}} - {y^{2017}} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge y\\{x^{2017}} \ge {y^{2017}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le y\\{x^{2017}} \le {y^{2017}}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Bất đẳng thức luôn đúng với mọi \(x,\;y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\)