Phương trình \(3\cos x + 2|\sin x| = 2\) có mấy ng...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối để đưa phương trình về dạng cơ bản: \(a\sin x + b\cos x = c\)

Giải chi tiết:

Xét \(x \in \left[ {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right],\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 0 \le \sin x \le 1 \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = \sin x.\)  Phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\cos x + 2|\sin x| = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin x + 3\cos x = 2\\ \Leftrightarrow \sin x \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} + \cos x \cdot \frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\,\,\,\,\left( {\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt {13} }};\;sin\alpha  = \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha  = \frac{\pi }{2} - \alpha  + k2\pi \\x + \alpha  = \pi  - \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2\alpha  + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Nghiệm  \(x = \frac{\pi }{2} - 2\alpha  + k2\pi \)  không thõa mãn.

Xét \(x \in \left[ {\pi  + k2\pi ;2\pi  + k2\pi } \right],\;\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow  - 1 \le \sin x \le 0 \Rightarrow \left| {\sin x} \right| =  - \sin x.\)  Phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;3\cos x + 2|\sin x| = 2\\ \Leftrightarrow 3\cos x - 2\sin x = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin x - 3\cos x =  - 2\\ \Leftrightarrow \sin x \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} - \cos x \cdot \frac{3}{{\sqrt {13} }} =  - \frac{2}{{\sqrt {13} }}\,\;\;\,\,\,\left( {\sin \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {13} }};\;cos\alpha  = \frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha  - \cos x\sin \alpha  =  - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \alpha  =  - \frac{\pi }{2} + \alpha  + k2\pi \\x - \alpha  = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\alpha  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)\(\)

Nghiệm \(x = 2\alpha  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) không thõa mãn.

Kết hợp nghiệm ta có: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Xét: \( - 10\pi  < \frac{\pi }{2} + k\pi  < 0 \Leftrightarrow  - 10,5 \le k \le  - 0,5 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1; - 2;...; - 10} \right\}\), có 10 giá trị của k thõa mãn; tương ứng với 10 nghiệm của phương trình.

Chọn A.