Tính tổng nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình và tìm các nghiệm thõa mãn điều kiện.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos \left( {5x + \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi \\5x + \frac{\pi }{2} \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{m\pi }}{2}\\x \ne \frac{{n\pi }}{5}\end{array} \right.(m,\;n \in \mathbb{Z}).\)

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\tan \left( {5x + \frac{\pi }{2}} \right) - \tan 2x = 0\\ \Leftrightarrow \tan \left( {5x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan 2x\\ \Leftrightarrow 5x + \frac{\pi }{2} = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\;\;\;\;\left( {tm} \right)\;\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Nghiệm này thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {3;\;15} \right] \Leftrightarrow 3 \le  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3} \le 15\)  

\( \Leftrightarrow 3 + \frac{\pi }{6} \le \frac{{k\pi }}{3} \Leftrightarrow 15 + \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 3,36 \le k \le 14,82.\)

Với \(k = 4 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{6}\) là nghiệm bé nhất.

Với \(k = 14 \Rightarrow x = \frac{{9\pi }}{2}\) là nghiệm lớn nhất.

Tổng hai nghiệm là: \(\frac{{7\pi }}{6} + \frac{{9\pi }}{2} = \frac{{17\pi }}{3}\)

Chọn B.