Cho hai số thực \(a > 1,\,\,b > 1\). Biết ph...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\) lấy logarit cơ số b cả 2 vế. Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x, áp dụng định lí Vi-ét tính \({x_1} + {x_2},\,\,{x_1}{x_2}\).

+) Thay \({x_1} + {x_2},\,\,{x_1}{x_2}\) vào biểu thức của P, đặt ẩn phụ \(t = {\log _b}a > 0\).

+) Áp dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có :

\({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow {\log _b}\left( {{a^x}{b^{{x^2} - 1}}} \right) = {\log _b}1 = 0 \Leftrightarrow x{\log _b}a + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x{\log _b}a - 1 = 0\)

Có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - {\log _b}a\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(P = {\left( {\frac{1}{{{{\log }_b}a}}} \right)^2} + 4{\log _b}a = \frac{1}{{\log _b^2a}} + 4{\log _b}a\).

Đặt \(t = {\log _b}a > {\log _b}1 = 0 \Rightarrow P = \frac{1}{{{t^2}}} + 4t\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(P = \frac{1}{{{t^2}}} + 2t + 2t \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{t^2}}}.2t.2t}} = 3\sqrt[3]{4}\).

Dấu "=" xảy ra

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{t^2}}} = 2t \Leftrightarrow {t^3} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\).

Vậy \({P_{\min }} = 3\sqrt[3]{4} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}\).

Chọn C.