Cho \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}d...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}\), đưa kết quả về dạng \(\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\).

+) Đồng nhất hệ số, tìm giá trị của a, b, c và tính tổng a + b + c.

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+1\Leftrightarrow 2tdt=dx\)  và \(x={{t}^{2}}-1\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = 3 \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{x}{{4 + 2\sqrt {x + 1} }}dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{4 + 2t}}2tdt}  = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^3} - t}}{{t + 2}}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 2t + 3 - \frac{6}{{t + 2}}} \right)dt}  = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + 3t - 6\ln \left| {t + 2} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{{14}}{3} - 6\ln 4 - \left( {\frac{7}{3} - 6\ln 3} \right)\\ = \frac{7}{3} - 12\ln 2 + 6\ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b =  - 12\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b + c = 1\end{array}\)

Chọn A.