Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

+) Chứng minh \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = ID = const\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {1;1;0} \right)\) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z = 1 \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn = 0\).

Mặt khác \(d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {m + n - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }}\).

Ta có \({\left( {1 - mn} \right)^2} = 1 - 2mn + {m^2}{n^2}\) ; \(m + n = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 2mn = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 1 - 2mn\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {1 - mn} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2} \Rightarrow \sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}}  = \left| {1 - mn} \right|\\ \Rightarrow d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right) = 1 = ID\end{array}\)

Vậy luôn tồn tại một mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D có bán kính \(R = 1\).

Chọn A.