Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \r...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta  > 0\).

Sử dụng định lí Vi-et.

Giải chi tiết:

Ta có \(\Delta  = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) = 4\left( {m + 1} \right) > 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow m >  - 1.\)

Áp dụng định lý Viet ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3m} \right)\\ \Rightarrow T = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3m} \right) - \left( {m - 1} \right)2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 3m\\ \Rightarrow T = 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m - 2{m^2} + 4m - 2 + {m^2} - 3m\\ \Rightarrow T = {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}.\end{array}\)

Vậy để T đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m = \frac{1}{2}.\)