Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích hình lập phương cạnh \(x\) là \(V={{x}^{3}}\).

Giải chi tiết:

Lấy K là trung điểm AB, M là trung điểm CD.

Ta có hình lập phương cần tìm là QPHJ.Q’P’H’J’.

Xét tam giác SKM có Q là trọng tâm tam giác SAB và H là trọng tâm tam giác SCD.

\(\Rightarrow \frac{SQ}{SK}=\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}=\frac{QH}{KM}\).

Mà K là trung điểm AB và M là trung điểm CD nên \(KM=AD=a\) mà \(\frac{QH}{KM}=\frac{2}{3}\Rightarrow QH=\frac{2a}{3}\).

Xét tam giác QPH vuông cân tại P, theo định lý Pytago ta có \(Q{{P}^{2}}+P{{H}^{2}}=Q{{H}^{2}}\Leftrightarrow 2Q{{P}^{2}}=\frac{4{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow QP=\frac{\sqrt{2}a}{3}\).

Vậy hình lập phương cần tìm có cạnh \(\frac{\sqrt{2}a}{3}\) nên nó có thể tích là \(V={{\left( \frac{\sqrt{2}a}{3} \right)}^{3}}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{27}\).

Chọn D.