Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = {...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = {\log _a}x\) có nghĩa \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\x > 0\end{array} \right.\) .

Giải chi tiết:

Để hàm số trên xác định với mọi \(x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow  - {x^2} + mx + 2m + 1 > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

 \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow m\left( {x + 2} \right) > {x^2} - 1\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow x + 2 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}\) . Xét hàm số y = f(x) trên (1; 2) ta có :

\(y' = \frac{{2x\left( {x + 2} \right) - {x^2} + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow \) Hàm số y = f(x) đồng biến trên (1; 2)

\( \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 2 \right) = \frac{3}{4}\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\). Mà \(f\left( x \right) < m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow \frac{3}{4} \le m\).

Chọn B.