Hệ số lớn nhất trong khai triển \({\left( {x + 2}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết số hạng tổng quát là \({T_{k + 1}}\) sau đó suy ra hệ số của số hạng \({T_{k + 1}}\) là \({a_{k + 1}}\).

Để  \({a_{k + 1}}\) là hệ số lớn nhất thì \(\left\{ \matrix{  {a_{k + 1}} > {a_k} \hfill \cr   {a_{k + 1}} > {a_{k + 2}} \hfill \cr}  \right.\)

Giải chi tiết:

Số  hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^k}{2^{10 - k}}\,\,\left( {0 \le k \le 10,k \in N} \right)\)

Hệ số của \({T_{k + 1}}\) là \({a_{k + 1}} = C_{10}^k{2^{10 - k}}\)

Hệ số liền trước \({a_k} = C_{10}^{k - 1}{2^{10 - \left( {k - 1} \right)}} = C_{10}^{k - 1}{2^{11 - k}}\)

Hệ số liền sau \({a_{k + 2}} = C_{10}^{k + 1}{2^{10 - \left( {k + 1} \right)}} = C_{10}^{k + 1}{2^{9 - k}}\)

Để  \({a_{k + 1}}\) là hệ số lớn nhất thì

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {a_{k + 1}} > {a_k} \hfill \cr   {a_{k + 1}} > {a_{k + 2}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  C_{10}^k{2^{10 - k}} > C_{10}^{k - 1}{2^{11 - k}} \hfill \cr   C_{10}^k{2^{10 - k}} > C_{10}^{k + 1}{2^{9 - k}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{10!} \over {k!\left( {10 - k} \right)!}}{2^{10 - k}} > {{10!} \over {\left( {k - 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}{2^{11 - k}} \hfill \cr   {{10!} \over {k!\left( {10 - k} \right)!}}{2^{10 - k}} > {{10!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}{2^{9 - k}} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {1 \over k} > {2 \over {11 - k}} \hfill \cr   {2 \over {10 - k}} > {1 \over {k + 1}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{11 - k - 2k} \over {k\left( {11 - k} \right)}} > 0 \hfill \cr   {{2k + 2 - 10 + k} \over {\left( {10 - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  k < {{11} \over 3} \hfill \cr   k > {8 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow k = 3. \cr} \)

Vậy hệ số lớn nhất là \({a_4} = C_{10}^3{2^7} = 15360.\)

Chọn C.