Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho ba điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Vì \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|\) ) (với G là trọng tâm của \(\Delta \)ABC) \(\Rightarrow \) \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MG\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC\(\Rightarrow G(0;2;1)\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG} \right|=3MG\)

\(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MG\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MG:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {u_{MG}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;2} \right)\\G(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow MG:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\\6t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

Chọn D