Cho hình bình hành \(MNPQ\) có \(MN=2MQ\) và \(\wi...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Câu a:

- Chứng minh tứ giác \(MIKQ\) là hình bình hành.

Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

- Chứng minh \(MI=MQ\), từ đó suy ra tứ giác \(MIKQ\) là hình thoi.

Câu b: Chứng minh \(MA=MI;\widehat{AMI}={{60}^{0}}\) rồi dùng định lý: Tam giác cân có một góc bằng \({{60}^{0}}\) là tam giác đều.

Câu c:

- Chứng minh tứ giác \(AMPN\) là hình bình hành.

Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình hành.

- Chứng minh \(\widehat{MAN}={{90}^{0}}\).

Sử dụng định lý: Đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện thì tam giác là tam giác vuông.

Giải chi tiết:

a) Vì MNPQ là hình bình hành nên MN//QP và MN = QP

Lại có: \(MI=\frac{MN}{2}\) (I là trung điểm của MN)\(QK=\frac{QP}{2}\)(K là trung điểm của QP)

Suy ra: MI//QK và MI = QK

Do đó tứ giác MIKQ là hình bình hành. (1)

Mặt khác: MI = QM \(=\frac{MN}{2}\)(theo GT) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MIKQ là hình thoi.

b) Ta có \(\widehat{AMI}+\widehat{IMQ}={{180}^{0}}\) ( Vì hai góc kề bù)

\(\widehat{AMI}\,\,={{180}^{0}}\widehat{-IMQ}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}\)

Mặt khác: MA = MQ (A đối xứng với Q qua M)

MI = MQ (Tứ giác MIKQ là hình thoi)

Suy ra: MA = MI .

\(\Delta \)AMI là tam giác cân có một góc bằng  60⁰

nên \(\Delta \)AMI là tam giác đều.

c) Ta có PN // MA và PN = MA (Vì PN // QM và QM = AM)nên tứ giác AMPN là hình bình hành. ( 3)

\(\Delta \)MAN có AI là đường trung tuyến và AI = \(MI=\frac{MN}{2}\)

Do đó: \(\Delta \)MAN vuông tại A \(\Rightarrow \widehat{MAN}={{90}^{0}}\) (4)

Từ (3) và (4):  Tứ giác AMPN là hình chữ nhât.

Chọn C