Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi O là trung điểm $AC$, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Do tam giác ABC vuông tại B).

Do đỉnh $S$ cách đều các điểm $A,\text{ }B,\text{ }C$ nên $SO\bot \left( ABCD \right)$.

Ta có

 $\begin{array}{l}MC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{CS}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}$.

Kẻ $CE\bot BD$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CE \bot BD\\CE \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = CE = \frac{{CB.CD}}{{\sqrt {C{B^2} + C{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy $d\left( M;\left( SBD \right) \right)=\frac{1}{2}CE=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Chọn A.