Cho tứ diện đều\(ABCD\), \(M\) là trung điểm của c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Giải chi tiết:

Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\,\,\Rightarrow \,\,DM=\frac{a\sqrt{3}}{2};\,\,AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Ta có \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{DM} \right|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{{{a}^{2}}}.\)

Mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=AB.AM.\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} \right)-AB.AD.\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right)=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)

Vậy \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} \right)=\frac{\sqrt{3}}{6}>0\Rightarrow \cos \left( AB;DM \right)=\frac{\sqrt{3}}{6}.\)

Chọn A.