Cho \(a>b>0\) hãy chứng tỏ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhân cả hai vế với một số dương bất đẳng thức không đổi chiều

Giải chi tiết:

a) Ta có \(a>b>0\Rightarrow ab>0\Leftrightarrow \frac{1}{ab}>0\)

Với bất đẳng thức \(a>b\) nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(\frac{1}{ab}\) ta được:

            \(a.\frac{1}{ab}>b.\frac{1}{ab}\Leftrightarrow \frac{1}{b}>\frac{1}{a}\Leftrightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\) .(đpcm)

\(\begin{align} & b)\ \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b} \\  & \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\ge \frac{4}{a+b} \\  & \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\ \ \ \ \left( do\ \ a+b>0;\ \ \ ab>0 \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng ý b) của bài 2 ta thấy \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\ \ \forall \ a,b.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) luôn đúng.