Cho tam giác \(ABC.\) Vẽ bên ngoài tam giác \(ABC\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\Delta EAC = \Delta BAF\) (c.g.c), từ đó chứng minh \(\angle AGB = \angle AGC = {120^0}\).

- Chứng minh \(\angle BGC = {120^0}\).

- Chứng minh tứ giác \(GBDC\) là tứ giác nội tiếp.

- Tính \(\angle DGC\).

- Chứng minh \(\angle AGD = {180^0}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE.\)

Xét tam giác \(EAC\) và tam giác \(BAF\) ta có:

\(AE = AB\) (do tam giác \(ABE\) đều)

\(AC = AF\)(do tam giác \(ACF\) đều)

\(\angle EAC = \angle BAF\,\,\,\left( { = {{60}^0} + \angle BAC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta EAC = \Delta BAF\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AEG = \angle ABG,\,\,\angle ACD = \angle AFG\)  (các góc tương ứng).

\( \Rightarrow AGBE,\,\,AGCF\) là các tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AGB = {180^0} - \angle AEB = {120^0}\\\,\,\,\,\,\,\angle AGC = {180^0} - \angle AFC = {120^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AGB = \angle AGC = {120^0}\) \( \Rightarrow \angle BGC = {360^0} - {240^0} = {120^0}\)

Mà \(\angle BDC = {60^0}\) (do tam giác \(BCD\) đều) \( \Rightarrow \angle BGC + \angle BDC = {180^0}\) \( \Rightarrow GBDC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) \( \Rightarrow \angle DGC = \angle DBC = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).

\( \Rightarrow \widehat {AGC} + \widehat {DGC} = {120^0} + {60^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow A,\,\,G,\,\,D\) thẳng hàng.

Vậy \(AD,\,\,BF,\,\,CE\) đồng quy tại \(G\) (đpcm).