Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng nguyên lý Dirichle: Có \(n\) số, sẽ tồn tại \(2\) số có cùng số dư khi chia cho số \(n - 1\)

+) Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu

Giải chi tiết:

Xét \(2020\) số có dạng \(1,\,\,11,\,\,111, \ldots ,\,\,11 \ldots 11\).

Theo nguyên tắc Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\).

Giả sử, hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\) là \(A = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1}\) và \(B = \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1}\)  với \(k < n\).

Khi đó, \(A - B = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1} - \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\underbrace {00 \ldots 00}_{k\,\,so\,\,0} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1} \cdot {10^k}\) chia hết cho \(2019\).

Vì \(A - B\,\, \vdots \,\,2019\) mà \(\left( {{{10}^k},\,\,2019} \right) = 1\) suy ra \(\underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\) chia hết cho\(\,2019\).

Vậy tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho \(2019\).