Giải phương trình nghiệm nguyên dương \({2^x} + {3...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhẩm nghiệm rồi chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Giải chi tiết:

Ta thấy \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình \({2^x} + {3^x} = {5^x}\) vì \({2^1} + {3^1} = {5^1}\)

Ta sẽ chứng minh \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình này.

Ta có: \({2^x} + {3^x} = {5^x} \Leftrightarrow \frac{{{2^x} + {3^x}}}{{{5^x}}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1\)

Nếu \(x > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} < {\left( {\frac{2}{5}} \right)^1}\\{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^1}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\)

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm nguyên duy nhất \(x = 1\)

Chọn A.