Cho tam giác \(ABC\) và điểm điểm \(K\) chuyển độn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Liên quan đến diện tích , chú ý đến các đường cao .

Giải chi tiết:

Dựng các đường cao \(MF \bot AC\), \(BE \bot AC\), \(AH \bot BD\), \(CI \bot BD\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{ABK}}}}{{{S_{AMK}}}} = \dfrac{{MK}}{{BK}}\), \(\dfrac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{BDC}}}} = \dfrac{{AH}}{{CI}} = \dfrac{{AD}}{{DC}} = 1\).

Mặt khác , ta có: \(\dfrac{{{S_{APB}}}}{{{S_{BPC}}}} = \dfrac{{AH}}{{CI}} = 1\).

Từ giả  thiết ta suy ra \({S_{APK}} = {S_{APB}}\).

Nhưng \(\dfrac{{{S_{APK}}}}{{{S_{APB}}}} = \dfrac{{MK}}{{BM}} = 1 \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BK\).

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung điểm song song với \(AC\) của tam giác \(ABC\) trừ hai trung điểm\({M_1},\,\,{M_2}\)  của tam giác \(ABC\).