Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn để suy ra \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta AEB\) để suy ra đpcm.

c) Chứng minh D là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^o}.\) 

\( \Rightarrow B,\,\,C\) thuộc đường tròn đường kính OA

Gọi I là trung điểm của OA

\( \Rightarrow \) A, B, O, C thuộc đường tròn tâm I  bán kính IA

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. (đpcm)

I  là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC.

b) Chứng minh \(A{B^2} = AD.AE\).

Ta có: \(\angle ABD = \angle AEB\)  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle ABD = \angle AEB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEB\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = AD.AE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Trường hợp cát tuyến ADE đi qua tâm O. Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \) AD   là phân giác \(\angle BAC\,\,\,\left( 1 \right)\)  và OA là phân giác \(\angle BOC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle BOD = \angle COD\)

Ta có: \(\angle ABD = \angle AEB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)

Lại có: \(\angle BOD\) là góc ở tâm chắn cung BD

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABD = \angle AEB = \frac{1}{2}\angle BOD\\ \Rightarrow \angle ABD = \frac{1}{2}\angle COD.\end{array}\)

Có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)

\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC.\)

Lại có \(D \in AO \Rightarrow DB = DC \Rightarrow cung\,\,DB = \,\,cung\,\,\,DC = \frac{1}{2}\,cung\,BC\,.\)

Mặt khác : \(\angle ABD\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(BD.\)

\(\angle COD\) là góc ở tâm chắn cung \(CD.\)

 \( \Rightarrow \frac{1}{2}\angle COD = \angle CBD = \frac{1}{2}\,\,cung\,\,BD \Rightarrow \angle ABD = \angle CBD\left( { = \frac{1}{2}\angle COD} \right)\) 

\( \Rightarrow \) BD là phân giác \(\angle ABC\) kết hợp (1)

\( \Rightarrow D\) là giao điểm của hai đường phân giác \(BD\) và \(AD\) của \(\Delta ABC.\)

\( \Rightarrow D\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (đpcm)