Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x,\) đặt ẩn phụ \(t = \sin x\).

+) Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\\\,\,\,\, = {\sin ^3}x - 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - m\sin x - 1\\\,\,\,\, = {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - m\sin x - 4\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x\), với \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\).

Bài toán trở thành tìm \(m\) để hàm số \(y = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{t^2} + 6t - m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le 3{t^2} + 6t\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\\ \Rightarrow m \le f\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\) ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,f'\left( t \right) = 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \notin \left[ {0;1} \right]\).

\(f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( 1 \right) = 9 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow m \le 0\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 2019;0} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \) Có 2019 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn B.