Cho \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần  \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}.\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx}  = 4\ln 3 - \int\limits_0^2 {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 4\ln 3 - \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^2 = 4\ln 3 - \left( {0 + \ln 3 - 0} \right) = 3\ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow 3a + 4b = 3.3 + 4.3 = 21.\end{array}\)

Chọn B.